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求齐次方程xy'-y-√(y^2-x^2)=0的通解
4个回答
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解:∵xy'-y-√(y-x)=0
==>y'-y/x-√(y/x-1)=0
∴设y=xt,则y'=xt'+t
代入方程得xt'-√(t-1)=0
==>dt/√(t-1)=dx/x
==>ln(t+√(t-1))=ln│x│+ln│C│
(C是积分常数)
==>t+√(t-1)=Cx
==>y/x+√(y/x-1)=Cx
==>y+√(y-x)=Cx
故原方程的通解是y+√(y-x)=Cx
(C是积分常数)。
==>y'-y/x-√(y/x-1)=0
∴设y=xt,则y'=xt'+t
代入方程得xt'-√(t-1)=0
==>dt/√(t-1)=dx/x
==>ln(t+√(t-1))=ln│x│+ln│C│
(C是积分常数)
==>t+√(t-1)=Cx
==>y/x+√(y/x-1)=Cx
==>y+√(y-x)=Cx
故原方程的通解是y+√(y-x)=Cx
(C是积分常数)。
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这么齐…显然想到令y/x=u,
y'=u+(du/dx)*x
y'-u-sqrt(u^2-1)=0
带入即有:
==>u+(du/dx)*x=u+sqrt(u^2-1)
分离变量:
==>du/[sqrt(u^2-1)]=dx/x
然后两边求原函数就是了,都是常见的形式了。
ln
|[u+sqrt(u^2-1)]|=ln
|x|
带回u就是了。
不过中间除的几个地方,分母不为零问题自己还要注意下。
手机浏览器写的啊!好辛苦…
y'=u+(du/dx)*x
y'-u-sqrt(u^2-1)=0
带入即有:
==>u+(du/dx)*x=u+sqrt(u^2-1)
分离变量:
==>du/[sqrt(u^2-1)]=dx/x
然后两边求原函数就是了,都是常见的形式了。
ln
|[u+sqrt(u^2-1)]|=ln
|x|
带回u就是了。
不过中间除的几个地方,分母不为零问题自己还要注意下。
手机浏览器写的啊!好辛苦…
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软绵绵的绿草地(像一张大床
)填空
淙淙的溪水(哗哗流淌
)
灿烂的阳光(明媚地照耀
)
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