Question

若D是△ABC内的一点,且AB^2-AC^2=DB^2-DC^2。求证：AD⊥BC

Answer 1

过A做AP⊥BC于P，过D做DQ⊥BC于Q。
那么根据勾股定理，AB^2=AP^2+PB^2,AC^2=AP^2+PC^2,
AB^2-AC^2=(AP^2+PB^2)-(AP^2+PC^2)=PB^2-PC^2=PB^2-(BC-PB)^2=2BC*BP-BC^2。
同理
DB^2-DC^2=(DQ^2+QB^2)-(DQ^2+QC^2)=QB^2-QC^2=2BC*BQ-BC^2。
由于AB^2-AC^2=DB^2-DC^2，
所以2BC*BP-BC^2=2BC*BQ-BC^2。即2BC*BP=2BC*BQ
因此BP=BQ，P与Q重合。
过一点只能有一条直线垂直于已知直线，因此AP与DQ重合，即AD⊥BC。