Question

证明连续是极限值等于函数值还是极限等于0

Answer 1

你好！
这是不被允许的。
对于一个一般的一元函数，从正向接近一个点和负向接近一个点，如果极限值相等，并不意味着这个函数一定是连续的。那个被接近的点的当地的函数值务必等于这个极限值才能说函数连续。
对于你所提出的函数y=sinx，如果我们去一个极限lim（sin（x+dx）），运用和角公式，变形为lim（sinx*cosdx+cosx*sindx），如果dx趋近于0，并且x取0，sinx=0，sindx=0，cosx=1，cosdx=1，这个极限的确是0，而在x=0这一点函数也是0，所以函数是连续的。
希望对你有帮助！

Answer 2

对于连续函数定义域内的点来说，极限值就是它的函数值；
反之，函数值就是它的极限值。完全正确，无可挑剔。
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由于平时过度渲染两个极端概念，而使得很多学生，明明是
概念正确，结果却是惴惴不安，反而被教师越忽悠越糊涂。
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第一个是过于强调了左右极限存在且相等，才算是极限存在。
过于忽略了单侧极限也是极限存在，仅仅是单侧存在。
左右两侧，没有共同极限，没有共同语言，说它不存在，并不
否认单侧极限的存在。
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第二个更普遍，那就是对奇点、间断点计算极限，这些点，
尤其是奇点，它不在定义域内，当然不能用函数计算！