Question

已知，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AB=AC，求证AB+AD=BC，并且越多方法越好，谢谢你了！

Answer 1

1、延长BA到E，使AE=AD，则角E=45度；

根据BD公用、角DBE=角DBC、角E=角C=45度，可证明三角形BDE与三角形BDC全等；

从而得
BC=AE=AB+AE=AB+AD；
2、过D作DF垂直BC于F，由BD平分角ABC可得
DF=DA，进而得
BF=AB；

又由
角C=45度
可得
三角形DFC为等腰直角三角形，故
FC=DF=AD，

于是得
BC=BF+FC=AB+AD.
3、过C作AD的垂线，交BA延长线于E，交AD延长线于F，

由BF垂直于CE及BF平分角ABC，可得
三角形BCE为等腰三角形，得
BE=BC；

又
角ABD=角EAF=90度-角E=角ACE、AB=AC
可得直角三角形ABD全等于直角三角形ACE，

得
AD=AE，故
BC=BE=AB+AE=AB+AD.