Question

求证：3√2-√3是无理数．

求证：3√2-√3是无理数．

Answer 1

证明：假设√3是有理数，则不妨设√3=mn（m，n为互质正整数），
从而：（mn）2=3，m2=3n2，可见m是3的倍数．
设m=3p（p是正整数），则 3n2=m2=9p2，可见n 也是3的倍数．
这样，m，n就不是互质的正整数（矛盾）．
∴√3=mn不可能，
∴√3是无理数．
同理3√2是无理数，
从而3√2-√3是无理数．

Answer 2

首先√6是无理数，这个证明比较简单，后面附。
反证法证明3√2-√3是无理数。
假设3√2-√3是有理数，设3√2-√3=p/q，其中p，q互质。
两边平方：18-6√6+3=p²/q²
整理得：√6=(21-p²/q²)/6
等号右边是有理数，这与√6是无理数矛盾，得证。
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下面再证下√6是无理数，这个估计好多人都懂咋证，因此放下边了。
还是反证法，假设√6是有理数，设√6=m/n，其中m，n互质。
两边平方：m²/n²=6
显然m²是偶数，因此m是偶数，因此m²是4的倍数。
如果n是奇数，m²/n²应为4的倍数，与m²/n²=6矛盾。
如果n是偶数，则与m，n互质矛盾。
综上，√6是无理数。