Question

求证:√3是无理数 （具体过程）

Answer 1

假设根号3是有理数
有理数可以写成两个整数的比
且经过有限次约分后成为最简分数,即分子分母互质
设根号3=p/q
p和q都是整数且互质
两边平方
3=p^2/q^2
p^2=3q^2
则p^2能被3整除
所以p也能被3整除
设P=3m
9m^2=3q^2
q^2=3m^2
所以q^2能被3整除
所以q也能被3整除
这和p和q互质矛盾
所以根号3不是有理数,是无理数

追问

懂了，谢谢

质数我知道，互质是什么意思？

Answer 2

反证法：假设√3是有理数
1^2< (√3)^2

证明：假设√3不是无理数，而是有理数。
既然√3是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √3=p/q 两边平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3m
由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也为偶数，设q=3n
既然p和q都是3的倍数，他们必定有公因数3，这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。