Question

如图，△ABC中，AB=AC，延长BC到D，使CD=BC,CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F。求证：AF=FC.

Answer 1

过A做BD的平行线交BE延长线于G。
△AGE∽△BDE
AG/BD=AE/ED
过A做BC的垂线交BC于H,AH‖EC
AE/ED=HC/CD=1/2
所以AG=BD/2=BC
△AGF≌△CBF
∴AF=FC

Answer 2

过A做BC垂线，垂足为G
易知△DCE∽△DGA，所以可得E为AD的靠近A的三等分点
∴AE=1/2DE
所以S△ABE=1/2S△BED
∵BC=CD，所以S△BCE=1/2S△BED
∴S△ABE=S△BCE
又∵△ABE与△BCE同底
∴△ABE与△BCE高相同
即AF*sin∠AFE=FC*sin∠BFC
而∠AFE=∠BFC（对顶角）
所以AF=FC，原题得证