Question

立方差公式和立方和公式是怎么推导的？

Answer 1

两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。用公式表达即：a ³ -b ³ =(a-b)(a ² +ab+b ² )。

由于立方项不好拆分，但是我们学过，遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a ² ，同时由于对a ³ 降阶的同时还要和b ³ 进行结合，所以很容易想到a ² b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a ² b项，得到下式，同时进行相应的合并：

a ³ -b ³ =a ³ -b ³ +a ² b-a ² b

=a ² (a-b)+b(a ² -b ² )

=a ² (a-b)+b(a+b)(a-b)

=[a ² +b(a+b)](a-b)

=(a-b)(a ² +ab+b ² )

证得：

a ³ -b ³ =(a-b)(a ² +ab+b ² )

立方差公式与立方和公式共称为完全立方公式。

立方差公式：a ³ -b ³ =(a-b)(a ² +ab+b ² )

立方和公式：a ³ +b ³ =(a+b)(a ² -ab+b ² )