Question

用反证法证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

最好有图，且用符号语言叙述

Answer 1

假设这个点为A，假设过A点有2条直线与已知平面垂直，则这两条直线和平面有两个交点（即垂足），分别为B和B'。
连接AB， BB'， B'A，构成一个三角形ABB'。
因为B和B'都是垂足，所以角ABB'=90度，同时角AB'B=90度
因为三角形ABB'三个内角和为180度，所以 角BAB'=180度-角ABB'-角AB'B=180-90-90=0度
所以AB和AB'必定重合，所以过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。

Answer 2

思路：把线面垂直转换成线线垂直。
假设：过一点有多条直线与已知平面垂直。设其中两条是A和B,这一点为O，这个面为α
（1）O点在面上，在面上取一过点O的直线C,A⊥α，则A垂直于面上的所有直线，即A⊥C。同理可得B⊥C。因为，过一点O，有且只有一条直线与已知直线C垂直，所有假设矛盾。
（2）O点在面外，作过O点垂直于面α的直线A，垂足为O1,再过点O作垂直于面α的直线B，垂足为O2，由于A和B不是同一条直线，所以O1和O2不在同一位置。作过点O1和O2的直线C，由上可得：A⊥C且B⊥C。因为，过一点O，有且只有一条直线与已知直线C垂直，所有假设矛盾。
总结：假设不成立，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。