Question

如何证明可与准对角矩阵交换的只能是准对角矩阵

Answer 1

问题不对.
设E是n阶单位矩阵,n>1,它同时也是对角矩阵,当然也是准对角矩阵,但E与任何矩阵都是可交换的.（这里认为准对角矩阵应至少有两个分块,否则任意方阵都可视作一阶分块的准对角矩阵.）
我见过一个类似的问题,或许你问的问题是这样的：
设A＝{a_1*E_1 0 ...0
0 a_2*E_2 ...0
............
0 0 0 a_r*E_r}
(用!=表示不等于）
其中a_i != a_k 当i !=k (i,k=1,2,...,r),E_i是n_i阶单位矩阵,n_1+n_2+...+n_r=n,证明：与A可交换的只能是准对角矩阵.
你能问出这个问题,我认为你知道分块矩阵的运算规则,所以下面给出的证明用到分块矩阵想必你能明白.
显然与方阵可交换的只能是方阵.
设M＝{m_i,k}是n阶方阵,m_i,k是n_i行n_k列的矩阵,M*A＝A*M,下证M是准对角矩阵.
考虑M*A与A*M的第i行第k列的分块,则有：
m_i,k*a_k*E_k=a_i*E_i*m_i,k,（其它的因为和（A中的）0相乘都没有了）
也即：
（a_k-a_i)*m_i,k=0
所以,i != k 时,m_i,k=0,这说明m_i,k是准对角矩阵.