Question

已知双曲线x²／a²－y²／b²＝1的离心率e＝√5／2，点（0，1）与双曲线上点的最小距离

Answer 1

首先需要指出，最后的结果不是具体的数，因为a，b的大小未定。

e=c/a=√5/2，∴4c²=5a² ∴b²=c²-a²=a²/4 ∴a²=4b² 即：a=2b

设双曲线上任意一点的坐标M：(asecθ，btanθ)

其中θ满足：-π/2＜θ＜π/2或者：π/2＜θ＜3π/2

那么点A(0，1)到点M的距离d就是：

d²=|AM|²=(asecθ)²+(btanθ-1)²

=a²sec²θ+b²tan²θ-2btanθ+1

=(a²+b²)tan²θ-2btanθ+(a²+1)

=5b²tan²θ-2btanθ+(4b²+1)

∵θ满足：-π/2＜θ＜π/2或者：π/2＜θ＜3π/2

∴tanθ∈R

令x=tanθ，则：x∈R，那么：

∴d²=5b²x²-2bx+(4b²+1) 其中：x∈R

∴当x=1/5b时：d²取得最小值：

(d²)min=1/5-2/5+(4b²+1)=4b²+4/5

∴(d)min=√(4b²+4/5)

手工计算，错了轻拍~