Question

如图，矩形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，P为CD延长线上的一点，PM的延长线交AC于点Q，求证

如图，矩形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，P为CD延长线上的一点，PM的延长线交AC于点Q，求证：MN平分∠PNQ.

Answer 1

连接BD,交PN于R,,延长PM交AD于H
则有NO/DP=OR/RD
AH/PC=AQ/QC
M为中点则AH=DP
ON=MN=1/2BC
OR/DO=NO/DP+NO=1/2DC/(DP+1/2DC)=DC/(2DP+DC)
OQ/AO=DC/(2DP+DC)=OR/DO
故QR平行于AD
且OQ=OR
又角QON=RON
ON=ON
故三角形OQN全等于RON
故角QNO=RNO
即MN平分角PNQ

Answer 2

证明：延长QN，与DC的延长线交于点E
∵MN || PE
∴∠QNM=∠QEC，∠PNM=∠NPD
并且有ON：CE=QO：QC=OM：CP
又∵MO=NO
∴CP=CE
则△NCP和△NCE全等
∴∠NPD=∠QEC
那么∠QNM=∠PNM
∴MN平分∠PNQ