Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角版ABC放在坐标平面内，直角边AC斜靠在两边坐标轴上，且点A(0,2)

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角版ABC放在坐标平面内，直角边AC斜靠在两边坐标轴上，且点A(0,2)，点C（-1,0），则点B的坐标是______________

Answer 1

：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）
∴点B的坐标为（-3，1）；（4分）

（2）抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3，1），
则得到1=9a-3a-2，（5分）
解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x-2；（7分）

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC．（10分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，-1）；（11分）
②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）
经检验，点P1（1，-1）与点P2（2，1）都在抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x-2上．（16分）点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

Answer 2

设坐标原点为O,过点B做BD⊥x，垂足为D
∵∠BCD＋∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°
∴∠BCD=∠OAC
又∵∠BDC=∠COA=90° BC=AC
∴△BCD≌△CAO
∴BD=OC=1, CD=OA=2
∴点B的坐标为（-3,1）

Answer 3

一共有四种情况：A是直角顶点时（2，1）（-2,3）C是直角顶点时（-3,1）（1,-1）

Answer 4

222

Answer 5

（-3，1）