Question

已知椭圆的方程为x^2/20+y^2/5=1,直线l:y=x+m交椭圆于A、B两不同的点 1，求m的取值范围 2，已知点M（4,1）

已知椭圆的方程为x^2/20+y^2/5=1,直线l:y=x+m交椭圆于A、B两不同的点
1，求m的取值范围
2，已知点M（4,1），若直线l不过点M，求证：MA、MB与x轴围城一个等腰三角形

求详细正解。
题目没有问题啊

第二问是求证 它是一个等腰三角形

Answer 1

⑴联立椭圆与直线方程，得一关于x,m或y，m的一元二次方程
因为有交点，且为两个
所以令上面那个一元二次方程的判别式大于零（不能等于零，因为两根不同。）
容易得-5＜m＜5
答案是否正确呢，如果不明白就告诉我，我现在找不到的计算的稿纸了，只留有答案。

⑵设A（x1,y1),B(x2,y2)，直线AM的斜率为k2，与x轴所夹的钝角为θ1，直线BM的斜率为k1，与x轴所夹的锐角为θ2（这个一定要结合图来看啊！）
因为题目要证等腰三角形
所以即证tanθ1=tan（π-θ2）
即tanθ1=-tanθ2(注意负号）
即k1=-k2（负号）
所以k1+k2=0
因为k1=(y1-1)/(x1-4),k2=(y2-1)/(x2-4)……(这个你知道怎么来的吧）
所以(y1-1)/(x1-4)+(y2-1)/(x2-4)=0
又因为A,B两点均在直线l上
即把上式中的y1,y2全变成只有x1,x2,m的方程
接下来就通分，化简（这是不可避免的）
最后化简可得[2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)]÷[x1x2-4(x1+x2)+16]……………一
(我们的目的是将上面的那个式子证得为0，即可）
因为直线l与椭圆交与A,B两点，
所以联立直线l方程与椭圆方程
可得一关于x与m得方程，为：5x²+8mx+4m²-20=0
再由韦达定理得①x1+x2=-8m÷5(别漏负号）
②x1x2=(4m²-20)÷5

用①②代入一中，可把式子化为只含m，结果一算，该式子含m部分可约去，最后为0
（证明成功）
所以直线AM,直线BM与x轴所构成的三角形为等腰三角形

Answer 2

1.把y=x+m代入x^2/20+y^2/5=1,整理得
5x^2+8mx+4m^2-20=0,①
直线交椭圆于两点，
<==>关于x的方程有相异实根，
<==>△/4=16m^2-5(4m^2-20)=4(25-m^2)>0,
m^2<25,-5<m<5,为所求。
2.直线l不过点M，
∴m≠-3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由①，x1+x2=-8m/5,x1x2=(4m^2-20)/5.
MA:(x-4)/(x1-4)=(y-1)/(y1-1)交x轴于点C(4-(x1-4)/(y1-1),0);
同法得MB交x轴于点D(4-(x2-4)/(y2-1),0).
MC^2=[(x1-4)/(y1-1)]^2+1,MD^2=[(x2-4)/(y2-1)]^2+1,
CD^2=[(x1-4)/(y1-1)-(x2-4)/(y2-1)]^2,
题目似乎有误。

Answer 3

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