Question

设函数f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)=-2,f(x)为奇函数，为减函数。

求:若f(2x+5)+f(6-7x)>4，求x的取值范围。

Answer 1

解法一
f(0)=0
f(2)=2f(1)=-4
又f(x)为奇函数
f(-2)=4
所以f(2x+5)+f(6-7x)>4
即f(2x+5+6-7x)>f(-2)
又x>0，f(x)<0，f(x)为减函数
所以由奇函数的性质必有x<0，f(x)>0，f(x)为减函数
-5x+11<-2，-5x+11<0
即x>13/5

解法二
f(0)=2f(0)，所以f(0)=0
f(x+Δx)=f(x)+f(Δx)
f(x+Δx)-f(x)=f(Δx)-f(0)
[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[f(0+Δx)-f(0)]/Δx
Δx→0，即f'(x)=f'(0)=k
f(x)=kx+C
又f(0)=0，所以C=0
f(1)=k=-2
所以f(x)=-2x
所以f(2x+5)+f(6-7x)>4
即-4x-10-12+14x>4
即x>13/5

Answer 2

f(x)对任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)
且f(1)=-2
令x=y=1
有f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-2-2=-4
因为f(x)为奇函数
所以f(-2)=-f(2)=4
f(2x+5)+f(6-7x)>4
即f(2x+5+6-7x)>f(-2)
即f(11-5x)>f(-2)
因为函数为减函数
所以有11-5x<-2
x>13/5
又因为x>0时，f(x)<0
所以f(2x+5)<0
则f(6-7x)应该>0
即6-7x<0
所以x>7/6
综合，x>13/5

Answer 3

上面两种解法都是可以参考的！这种函数是可以找到函数的原型的！其实此题中f（x）＝—2x
这就是函数的原型！通常这种题可以参照原型解！习惯了就会这种抽象函数的解法得心应手了！