Question

△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设向量AB=向量a，向量AC=向量b

（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且AO/OE=BO/OF=CO/OD=2
(2)用向量a、b表示向量AO

Answer 1

(1)连接AO并延长交BC边与E'，连接DF，交AE’与G
对于△BAC与△DAF，∠DAF=∠BAC
∵D、F分别是AB、CA的中点
∴AD/AB=AF/AC=1/2
∴△BAC ∽△DAF
∴DF/BC=1/2，∠DFC=∠BCA
∴DF//BC
对于△BAE‘与△DAG
∵DF//BC
∴△BAE’ ∽△DAG
∴DG/BE‘=AD/AB=AG/AE’=1/2
∴BE’=2*DG
对于△DFO与△BCO
∵DF//BC
∴△DFO ∽△BCO
∴OD/CO=OF/BO=DF/BC=1/2
对于△DGO与△E‘OC
∵DF//BC
∴△DGO ∽△E’OC
∴DG/E‘C=DO/CO=GO/OE‘=1/2
E’C=2*DG
∵BE‘=2*DG
∴BE’=E'C
∵E是BC的中点
∴E与E‘重合，A、O、E三点在同一直线上。
∵OD/CO=OF/BO=1/2
∴BO/OF=CO/OD=2
同理可证AO/OE=2
(2)过B点作AC的平行线与AE的延长线交于H点，连接CH
对于△AEC与△BEH，
∵AC//BH，BE=EC
∴△AEC与△BEH全等
∴AE=EH
对于△AEB与△CEH，∠AEB=∠CEH
∵AE=EH，BE=EC
∴△AEB与△CEH全等
∴∠ABE=∠HCE
∴AB//CH
∴四边形ABHC为平行四边形
向量AH=向量AB+向量AC=a+b
由(1)中可知AG/AE=1/2，GO/OE=1/2
AG=GE=GO+OE=(3/2)*OE
AO=AG+GO=(3/2)*OE+(1/2)*OE=2*OE
AO=(2/3)AE=(2/3)*(1/2)*AH=(1/3)*AH
向量AO=(1/3)向量AH=(1/3)*(a+b)