Question

立体几何--高一问题

已知棱长为a的正方形ABCD-A1B1C1D1。设M，N分别是A1B1，BC的中点。
①求MN与A1C1所成角的正切值。
②求DB1与A1C1所成的角

Answer 1

解：
你自己画个正方形ABCD-A1B1C1D1的图来
(1)连接MN、A1C1，取B1C1的中点G，连接MG
所以MG为A1C1的中位线
那么MG=√2/2a
连接GN
易得A1C1=√2a，GN=B1B=a
因为平面B1C1CB⊥平面ABCD，GN⊥BC，
所以△MGN为直角三角形
所以MN与A1C1所成角的正切值为GN/MG=a/√2/2a=√2a

(2)连接DB、D1B1
取D1D、D1B1中点E、O
连接EO
则A1O=1/2A1C1=√2/2a
EO=1/2DB1=√3/2a
A1E=√A1D1²+D1E²=√a²+1/2a²=√5/2a
因为A1O²+EO²=A1E²
所以△A1OE为直角三角形。
所以DB1与A1C1所成的角为90°

Answer 2

①MN与A1C1所成角的正切值=根号2。
②DB1与A1C1所成的角=90°