Question

设函数f(x)=lnx,g(x)=px-(p/x)-2f(x).(1)若g(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围(2)求证f(1+x)≤x，

Answer 1

设函数f(x)=lnx,g(x)=px-(p/x)-2f(x).(1)若g(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围(2)求证f(1+x)≤x
(1)解析：∵函数f(x)=lnx,g(x)=px-(p/x)-2f(x)
g(x)=px-p/x-2lnx，其定义域为x>0,单调函数
g’(x)=p+p/x^2-2/x=(px^2-2x+p)/x^2
⊿=4-4p^2<0==>p<-1或p>1
∴p的取值范围为p<-1或p>1
(2) 设h(x)=f(1+x)-x=ln(1+x)-x,其定义域为x>-1
令h’(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)=0==>x=0
H”(x)=-1/(1+x)^2==>h”(0)=-1<0,∴函数h(x)在x=0处取极大值h(0)=0
∴h(x)<=0,即ln(1+x)<=x
∴f(1+x)≤x成立。