Question

数学急 急 圆

正三角形ABC的边长为12，先做它的内切圆圆O,圆O与面BC相切于点D,在做圆S与圆O相外切于G,并且与AB,BC分别相切于E,F, 求DG弧的长，FG弧的长，求图中阴影的面积。
图在http://hi.baidu.com/yuerusually/album

Answer 1

解： 由题意，圆心O在 高AD上， 点S G 在 线段BO上，且OD⊥BC。
∵ 正三角形ABC的边长为 12
∴ BD = 1/2 BC = 6
∵ 圆O与 AB 、BC 均相切
∴ BO 平分 ∠ABC
∴ △BOD是Rt△且∠OBD= 30°，∠BOD = 60°
∴ 圆O半径OD = BD × tan30°
= 6 × √3/3 = 2√3.
∴ 圆O的周长为： 2π × 2√3
∵ 弧DG 对的圆心角为 60°
∴ 弧DG 的长为 圆O周长的 1/6, 即为 2√3 /3 π

求弧长FG 需要 求出 圆S 的半径r
∵ SF = r ∠SBF = 30°
∴ BS = 2r
∴ BG = 3r
∵ BG + OG = 2OD OD = OG
∴ BG + OD = 2OD
∴ BG = OD
∴ 3r = OD
∴ r = 1//3 OD = 1/3 × 2√3 = 2√3 / 3
∴ 圆S 周长为 2π × 2√3 / 3
∵ 弧 FG 对的圆心角为 120°
∴ 弧FG 的长为 圆S 周长的 1/3, 即为 4√3/9 π。

求阴影部分的面积：
S △BSF = 1/2 × BF × SF
= 1/2 × ( √3SF ) × SF ( SF = 2√3 / 3 )
= 2√3 / 3
圆S 与 △BSF 重叠 的扇形面积为 圆S面积的 1/6,
即为 1/6 × π × （ 2√3 / 3 ）² = 2/9 π

阴影面积为： 2 × （ S△BSF -- 重叠扇形面积 ）
= 2 × （ 2√3 / 3 -- 2/9 π ）
= 4/9 ( 3√3 -- π )

Answer 2

由题意可知：圆O圆心O所在的位置是正三角形的中心。连接BO，则BO是角ABC的平分线，可知角OBD=30°，连接OD，OD⊥BC，则推断出角BOD=60°，所以DG的弧长L=60/360*圆O的周长。
圆O的半径=tan30°*12/2=2√3，DG可得解。DG=2√3/3π
接下来求小圆的半径，设为r。连接BN，交小圆于M点，交大圆于G点，交边AC于N点。设BM长为x，因为SF⊥BC，三角形BFS相似于三角形BDO，具体证明不写。则得方程：BG/BO=SF/OD，即是r+x/BO=r/OD ①
根据正三角形的特性，求出BN=6√3，则有方程：BN=BM+MG+GN=x+2r+4√3=6√3 ②
由方程①②可求得x=r=2/3√3，FG所对应圆心角为：180-60=120°。则FG长=120/360*圆S的周长。
FG得解。FG=4√3/9π
面积没时间算，很简单，用面积BSF-扇形面积MSF=S*2得解