Question

线性代数的两道题目,求解析过程.有加分.

1.n阶方阵A,B中有A^2=B^2,问下列哪一个不成立?
A.A=土B
B.rank(A)=rank(B)
C.detA=土detB

2.将上面的条件换成A^2=4*B^2的话?为什么全错?

3.行列式
| -1..............-1 |
|-1.............-1 0|
| -1........-1 0 0 |
| .................... |
|-1 0.............0|

如果是2n阶,答案就是1
如果是4n+2阶,答案是-1

求高人解释过程,谢谢!
打错了
是4n阶为1,4n+2为-1
用求和公式求和以后,指数部分都是偶数,为什么会有-1?

第一题的答案是C

Answer 1

第一题:
答案不是C, 应是A. 给你个反例. A = 1, 0; 0, 1 B= -1, 0; 0, 1, 则 A^2 = B^2 = 单位矩阵, 但 A 不等于 B , 也不等于 -B.
第二个选择B 我拿不准, 感觉也不对, 但给不出反例来. (我再考虑一下)
第三个选择C是对的: 由 A^2 = B^2 得 |A^2| = |B^2 |, 所以 |A|^2 = |B|^2 , 所以 |A| = 土 |B|.

第二题: 换成A^2=4*B^2后, 第一题中的C也不对了. |A^2|=|4*B^2| = 4^n * |B^2 |

第三题: 设你给的行列式是k阶的, 则
行列式 = (-1)^ k * (-1)^ [ 排列 k(k-1)...21的逆序数]
= (-1)^ [ k + k(k+1)/2 ]
= (-1)^ [ k(k+3)/2 ].
所以 当k=4n时, k(k+3)/2 是偶数, 行列式等于1
当k=4n+2时, k(k+3)/2 是奇数, 行列式等于 -1

Answer 2

a