Question

已知向量OA,OB,OC满足条件OA+OB+OC=0（都是向量），且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△ABC是正三角形

已知向量OA,OB,OC满足条件OA+OB+OC=0（都是向量），且|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：△ABC是正三角形

Answer 1

证明:因为OA+OB+OC=0,所以三者或组成封闭图形，或在同一条直线上
又因为三个向量模长相等，
所以不可能在同时满足同一条直线上 且OA+OB+OC=0
所以三个向量必定组成封闭图形
因为是三个向量组成封闭图形
所以ABC一定是三角形
又因为三边模长相等
所以一定是正三角形。

Answer 2

OA+OB+OC=0
OA+OB=-OC
OA^2+OB^2+2OA*OB=OC^2
1+1+2OA*OC=1
2OA*OC=-1
OA*OC=-1/2
cosθ=120°
同理，∠AOB=∠AOC=∠COB=120°
△AOB≌△AOC≌△COB
所以是等边三角形

Answer 3

解向量X的模的平方等于该向量与自身的内积<X,X>，
向量X与向量Y的内积<X,Y>=|X||Y| cos<X,Y>
|X+Y|^2=<X+Y,X+Y>=<X,X>+<X,Y>+<Y,X>+<Y,Y>
=|X|^2+2<X,Y>+|Y|^2=|X|^2+2|X||Y| cos<X,Y>+|Y|^2
即 |X+Y|^2=|X|^2+2|X||Y| cos<X,Y>+|Y|^2
由OA+OB+OC=0得OC=-OA-OB，故
|OA|^2=|-OB-OC|^2=|OB+OC|^2=|OB|^2+2|OB||OC|<OB,OC>+|OC|^2
=|OB|^2+2|OB||OC|cos<OB,OC>+|OC|^2
|OA|^2=|OB|^2+2|OB||OC|cos<OB,OC>+|OC|^2
1=1+2 |cos<OB,OC>+1
cos<OB,OC>=-1/2
向量OB,OC的夹角为120°.同理OA与OC,OA与OB夹角均为120°，此时
|AB|^2=|AO+OB|^2=|AO|^2+2cos<AO,OB>+|OB|^2
=1-2cos<OA,OB>+1=3
|AB|=√3, 同理|AC|=√3,|BC|=√3, |AB|=|AC|=|BC|，故ABC为正三角形