Question

微分方程 高手 ！解题呢

<1>（x+1）dy/dx+1=2e^-y 的通解是什么？
<2> 方程y''-3y'-4y=x^2+cosx的待定特解形式可设为？
希望高手能详细解答

Answer 1

希望能够帮到你

1：如图所示

2：自己算二次非齐次微分方程的一般解法

一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)

第一步：求特征根：

令ar&sup2;+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)&sup2;=-β&sup2;）

第二步：通解：

若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

第三步：特解：

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）

则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x&sup2;+2x，则设Q（x）为ax&sup2;+bx+c，abc都是待定系数)

若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）

若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）

若λ是二重根 k=2 y*=x&sup2;*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

若α+βi不是特征根，y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

若α+βi是特征根，y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）

第四步：解特解系数

把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程，对照系数解出待定系数。

最后结果就是y=通解+特解

通解的系数C1，C2是任意常数