Question

高三立体几何

斜三棱柱ABC-A1B1C1中 A1B=A1C=AA1=AB=AC=13 BC=10
1 求证 AA1垂直于BC
2 求三棱柱的表面积和体积
3 求点A1到面BCC1B1的距离
如图

Answer 1

斜三棱柱ABC-A1B1C1中 A1B=A1C=AA1=AB=AC=13 BC=10
1 求证 AA1垂直于BC
2 求三棱柱的表面积和体积
3 求点A1到面BCC1B1的距离

1 证明：由题意知⊿A1AB，⊿A1AC全等等边三角形
∴⊿ABC，⊿A1BC为等腰三角形，AB=AC=A1B=A1C
过A作AD⊥BC交BC于D，D为BC中点
连接AD，A1D，∴A1D⊥BC
∴BC⊥面AA1D
∴AA1⊥BC

2 解析：过A1作A1E⊥AD交AD于E，则A1E为棱柱的高
∵A1B=A1C=AA1=AB=AC=13，BC=10
AD=A1D=√(13^2-5^2)=12
设AE=x
13^2-x^2=12^2-(12-x)^2==>x=169/24
A1E=√(13^2-(169/24)^2)=13√407/24
∴斜三棱柱ABC-A1B1C1体积=1/2*10*12*13√407/24=65√407/2
S(⊿A1AB)=169√3/4，S(AA1B1B)= 169√3/2
四边形BCC1B1为矩形
斜三棱柱ABC-A1B1C1表面积=169√3+130+120=250+169√3

3 解析：在⊿A1AE中tan∠A1AE=(13√407/24)/( 169/24)= √407/13
点A1到面BCC1B1的距离d
sin∠A1AE =d/AD==>d=12* sin∠A1AE
sin∠A1AE=12√407/407
∴点A1到面BCC1B1的距离144√407/407