Question

几何题。。。。。。。

已知：如图△ABC和△CDE都是等边三角形，AD BE 相交于点F，请你进一步探索线段AF,BF,CF 之间具有怎样的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

线段AF、BF、CF有以下关系： AF=BF+CF

证明：从B点做一条射线，使之与BF成60°，交AD于H，交AC于G，设AD与BC交于K

     在△ACD和△BCE中

∵∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD=∠BCE

又∵AC=BC，CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴∠CBE=∠DAC

在△AKC和△BKF中

∵∠AKC=∠BKF（对顶角）

∴∠AFB=180-∠CBE-∠BKF=180-∠DAC-∠AKC=∠BAC=60°

∴△BFH是等边三角形

在△ABH和△BCF中

∵AB=BC

  ∠ABH=∠ABC-∠HBK=∠HBF-∠HBK=∠CBE

  BH=BF

∴△ABH≌△BKF（SAS）

∴AH=CF

∵AF=AH+HF

∴AF=CF+BF

结论成立

Answer 2

它们之间的关系是：BF+CF=AF.。
证明：∵AC=BC，
CE=CD，
〈ACB=〈DCE=60度，
〈ACB+BCD=〈DCE+〈BCD，
∴△ACD≌△BCE，（SAS），
∴〈CAF=〈CBF，
∴A、B、F、C四点共圆（两个共底同侧三角形顶角相等时四点共圆），
在AF上取FP=BF，连结PC，
在三角形BCF和三角形ABP中，
∵BC=AB，
〈BCF=〈BAP（同弧圆周角相等），
〈BFP=〈BCA=60度，（同弧圆周角相等），
三角形BPF是正三角形，
〈PBF=60度，
〈ABP=〈ABC-〈PBC=60度-〈PBC，
〈FBC=〈PBF-〈PBC=60度-〈PBC，
∴△ABP≌△CFB，
∴AP=CF，
∴AF=BF+CF。

Answer 3

结论AF=BF+CF 不需要做辅助线。设AF交BC与M点，BE交CD于N点。
△FCE全等于△ACD 等边夹等角。 然后证明 △CMD全等于△CFE，△ACF全等于△CBN,最后证明 △CFM为等边△，然后可知MF=CF，AM=BF，由图可知 AF=AM+MF 即 AF=BF+CF。

Answer 4

空间几何还是平面的？？？