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地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
不能
1、9、15、31的平均数是14
因为每操作一次改变一次奇偶性
即:第奇次操作后每堆数量是偶数
第偶次操作后每堆数量是奇数
所以,需要奇数次操作
又因为,它们除以3的余数分别是1,0,0,1,结果都是2
而每一次操作后有奇数堆(3堆)改变余数结果
所以,要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作
在本题中,4堆都要改变,所以需偶数次操作
矛盾,所以结果是不可能的
下面是几何
Ⅰ四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求证：OM=ON
Ⅱ四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点，求证EF平分MN。
Ⅲ四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA延长线交FE延长线于点G，CD延长线交FE延长线于点H。求证：,∠BGF=∠CHF。
Ⅳ在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到M，N是BM的中点，H是EN的中点，连结DH交BM于F。求证：CF=FM
Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中点，求证：AB=2DE
Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF=1／2（DC-AB）
Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分线，在AB、AC上分别截取BD=CE，M是DE的中点，N是BC的中点，求证：MN平行AH
Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延长线于M，MF⊥AB于F。求证：BE=EF
以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理（若AD平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。）
I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且 ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
方法二：连结BD,找BD中点O,,连结EO、OF。通过中位线可以得出OE平行且等于1/2AB，OF平行且等于1/2CD，所以EO=OF，通过平行加上OE=OF，可一很简单的得出角角BGF=角CHF
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故 GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形 DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
不能
1、9、15、31的平均数是14
因为每操作一次改变一次奇偶性
即:第奇次操作后每堆数量是偶数
第偶次操作后每堆数量是奇数
所以,需要奇数次操作
又因为,它们除以3的余数分别是1,0,0,1,结果都是2
而每一次操作后有奇数堆(3堆)改变余数结果
所以,要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作
在本题中,4堆都要改变,所以需偶数次操作
矛盾,所以结果是不可能的
下面是几何
Ⅰ四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求证：OM=ON
Ⅱ四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点，求证EF平分MN。
Ⅲ四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA延长线交FE延长线于点G，CD延长线交FE延长线于点H。求证：,∠BGF=∠CHF。
Ⅳ在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到M，N是BM的中点，H是EN的中点，连结DH交BM于F。求证：CF=FM
Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中点，求证：AB=2DE
Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF=1／2（DC-AB）
Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分线，在AB、AC上分别截取BD=CE，M是DE的中点，N是BC的中点，求证：MN平行AH
Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延长线于M，MF⊥AB于F。求证：BE=EF
以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理（若AD平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。）
I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。
II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且 ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。
III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。
方法二：连结BD,找BD中点O,,连结EO、OF。通过中位线可以得出OE平行且等于1/2AB，OF平行且等于1/2CD，所以EO=OF，通过平行加上OE=OF，可一很简单的得出角角BGF=角CHF
IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。
VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。
VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故 GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形 DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。
VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。
IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。
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