Question

高二几何数学题求解（向量方法）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，且E在棱PB上（设空间向量）

（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）
(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小（设向量）
1

Answer 1

（1）
∵ PD ⊥ 面ABCD，AC ∈ 面ABCD
∴ PD ⊥ AC
又∵ ABCD为正方形
∴ AC ⊥ BD
∴ AC ⊥ 面PBD
又∵ AC ∈ 面AEC
∴ 面AEC ⊥ 面PBD
（2）
∵ E为PB的中点时
∴ {AE} = ( {AP}+{AB} )/2 = ( -{DA}+{DP}+{DC} )/2 {AE}表示向量AE
{AC} = {DC}-{DA}
{AE}·{AC} = ( {DC}²+{DA}² )/2 = AB² AB为底面正方形边长
|{AE}| = AB, |{AC}| = √2·AB |{AE}|为向量AE的模
cos< {AC},{AE} > = {AE}·{AC} / |{AE}| |{AC}| = √2 /2
< {AC},{AE} > = 45°
由(1) 中 AC ⊥ 面PBD 知：{AC}为面PDB的法向量
∴ AE与平面PDB所成的角的大小为：90°-45°= 45°

Answer 2

∵ E为PB的中点时
∴ {AE} = ( {AP}+{AB} )/2 = ( -{DA}+{DP}+{DC} )/2 {AE}表示向量AE
{AC} = {DC}-{DA}
{AE}·{AC} = ( {DC}²+{DA}² )/2 = AB² AB为底面正方形边长
|{AE}| = AB, |{AC}| = √2·AB |{AE}|为向量AE的模
cos< {AC},{AE} > = {AE}·{AC} / |{AE}| |{AC}| = √2 /2
< {AC},{AE} > = 45°
由(1) 中 AC ⊥ 面PBD 知：{AC}为面PDB的法向量
∴ AE与平面PDB所成的角的大小为：90°-45°= 45°