Question

数学卷21：已知数列{an}满足a1=4,an+1-4an=4^n(n∈N＊),数列{bn}满足bn=an/4^n。

（1）求证：数列{bn}是等差数列
（2）设Sn=a1/4+a2/5+a3/6+..+an/(n+3)，求满足不等式1/257＜Sn/S2n＜1/5的所有正整数n的值。
说明：n ；n+1 ；2n都是下标
求详解，要步骤。谢谢。

Answer 1

(1)
a(n+1)-4an=4^n
a(n+1)/4^(n+1)-an/4^n=1/4
{bn=an/4^n}是等差数列, d=1/4
an/4^n-a1/4^1=(n-1)/4
an = (n+3).4^(n-1)
(2)
Sn=a1/4+a2/5+...+an/(n+3)
cn = an/(n+3)
=(n+3).4^(n-1)/(n+3)
= 4^(n-1)
Sn =c1+c2+...+cn
= (4^n-1)/3
Sn/S(2n) =(4^n-1)/(4^(2n)-1)

1/257<Sn/S(2n)<1/5
1/257<(4^n-1)/(4^(2n)-1)<1/5

1/257<(4^n-1)/(4^(2n)-1)
4^(2n)-1 < 257(4^n-1)

4^(2n)-257(4^n)+256<0
(4^n-256)(4^n-1)<0
1<4^n<256
0<n< 4 (1)
and
(4^n-1)/(4^(2n)-1)<1/5
5(4^n-1)<(4^(2n)-1)
4^(2n)-5(4^n)+4>0
(4^n-1)(4^n-4)>0
4^n >4 or 4^n<1
n>1 or n<0 (2)

(1) and (2)
1<n<4
ie n=2,3

Answer 2