Question

如图，在三角形ABC中，D、G分别是AB、AC上的一点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点

如图，在三角形ABC中，D、G分别是AB、AC上的一点，且BD=CG，M、N分别是BG、CD的中点，MN的直线交AB于点P，交AC于点Q。试说明AP=AQ。

Answer 1

证明：取BC的中点H,连接HM并延长交AB于X，连接HN并延长交AC于Y。则
HM‖CG, HM=(1/2)CG; HN‖BD, HN=(1/2)BD
而BD=CG
所以：HM=HN,即∠HNM=∠HMN，也就是∠QNY=∠PMX
由 平行得∠A=∠QYN,∠A=∠PXM
所以：△MPX∽△NQY
所以：∠APQ=∠AQP
所以：AP=AQ

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Answer 2

证明：
取BC的中点E，联接EM和EN
∵BM=GM BE=CE
∴EM=½CG EM∥CG
∴∠AQO=∠EMN
同理EN=½BD EN∥BD
∠APQ=∠ENM
∵CG=PD
∴EM=EN
∴∠EMN=∠ENM
∴∠APQ=∠AQP
∴AP=AQ