Question

爷爷对孙子说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，在过若干年就分别是你的5倍.4倍.3倍.

爷爷对孙子说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，在过若干年就分别是你的5倍.4倍.3倍.2倍。”爷爷和孙子现在的年龄分别是几岁？

Answer 1

结果为爷爷现在的年龄是70岁，孙子现在的年龄是10岁。

解析：本题考查的是重叠问题，本题主要是利用年龄和年数应为自然数这一条件进行讨论，找出小明的年龄，再求出爷爷的年龄。先设爷爷x岁，孙子y岁，以后若干年为a，b，c…，根据题目给出的信息列出几个方程，再化简，根据化简后的结果进行讨论。

解题过程如下：

解：设爷爷x岁，孙子y岁，以后若干年为a，b，c…

x=7y，x+a=6（y+a），x+b=5（y+b）…

得：y=5a  y=2b y=c…

因为这个若干年应该是整数年，2和5的公倍数是小明的岁数：10岁，20岁，30岁…

考虑实际情况，10岁比较符合题意。

然后2人的年龄应该如此增长：

爷爷 小明 倍数

70   10   7倍

72   12   6倍

75   15   5倍

80   20   4倍

90   30   3倍

120  60   2倍

故答案为：70，10。

答：爷爷现在的年龄是70岁，孙子现在的年龄是10岁。

解决重叠的方法：

1、解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

2、解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。

3、在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。

4、解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫作包含与排斥原理，也叫容斥原理。

Answer 2

根据题意，爷爷和小华的年龄之差需要分别是6，5，4，3，2的倍数
而6，5，4，3，2的最小公倍数为60
所以年龄差最小为60。
根据今年爷爷是小华的7倍，得
今年爷爷70岁，小华10岁
于是
2年后，爷爷72，小华12，为6被；
5年后，爷爷75，小华15，为5被；
10年后，爷爷80，小华20，为4被；
20年后，爷爷90，小华30，为3被；
50年后，爷爷120，小华60，为2被。

答：爷爷现在70岁，小华现在10岁

追问

算式

追答

当爷爷的年龄是小明的7倍时，年龄差是小明年龄的6倍，以此类推，年龄差分别是小明年龄的6倍、5倍、4倍、3倍、2倍、1倍
也就是说：年龄差是6、5、4、3、2的公倍数
6、5、4、3、2的最小公倍数是60
60÷6＝10
10×7＝70
爷爷现在的年龄70岁
小明现在的年龄10岁

Answer 3

Answer 4

70!10