Question

初二数学题

Answer 1

证明：在所有图中，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360º（四边形内角和等于360º），
∠DAB=60º，∠B+∠D=180º，
∴∠BCD=120º
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30º
（1）如图②，在△ABC和△ADC中，∵∠B+∠D=180º，∠B=∠D
∴∠B=∠D=90º
∴△ABC和△ADC是直角三角形
∵∠DAC=∠BAC=30º（已证）
∴AB=AC*Cos∠BAC=AC*Cos30º=√3/2*AC,，AD==ACCos∠DAC=AC*Cos30º=√3/2*AC
∴AB+AD=√3*AC

（2）如图③，在直角△AGC与直角△AFC中，
∵∠DAC=∠BAC=30º，
∴AG=ACCos30º=√3/2*AC，AF=ACCos30º=√3/2*AC
∴AG+AF=√3*AC
即 AB+BG+AF=√3*AC，
即AB+（AF+BG）=√3*AC，（接下来证明BG=DF即可）
在直角△AGC与直角△AFC中，
∵∠DAC=∠BAC=30º，∠ACG=∠ACF=90º-30º=60º，
又AC=AC
∴△AGC≌△AFC（ASA）
∴CG=CF
又∵∠BCD=120º（已证），∠GCF=360º-（60º+90º+90º）=120º
即 ∠BCF+∠DCF=120º，∠BCF+∠BCG=120º
∴∠DCF=∠BCG
在直角△BGC与直角△DFC中，
∵CG=CF，∠DCF=∠BCG（已证），∠G=DFC=90º
∴△BGC≌△DFC（ASA）
∴BG=DF
∵AB+（AF+BG）=√3*AC（已证）
∴AB+（AF+DF）=√3*AC
即 AB+AD=√3*AC