Question

设有4元非齐次线性方程组Ax=b,且R(A)=3, a1,a2,a3是Ax=b的三个解向量

设有4元非齐次线性方程组Ax=b,且R(A)=3, a1,a2,a3是Ax=b的三个解向量，其中
a1=[2,0,0,3], a2+a3=[2,0,0,4]
求Ax=b的通解。
答案中 基础解系=a1-（a2+a3）/2 =[1,0,0,1] 为什么？

Answer 1

R(A)=3
说明AX=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量

A(a1-（a2+a3）/2) = Aa1-（Aa2+Aa3）/2 = b - (b+b)/2 = 0

所以 a1-（a2+a3）/2 是 AX=0 的解

所以它就是基础解系

一般有:
非齐次线性方程组的解的线性组合 是其导出组的解 的充要条件是 组合系数之和等于0

Answer 2

基础解系是其对应的齐次方程的解。Aa2+Aa3=A(a2+a3)=2b,所以A((a1+a2)/2)=b(**），又Aa1=b(*)
则由有（*）-（**）有A(a1-(a2+a3)/2)=0所以其对应的齐次方程的解为x=k(a1-(a2+a3)/2）所以基础解系=a1-（a2+a3）/2 =[1,0,0,1]