Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：①f（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0；

对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：①f（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0； ③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．（Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．（Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)＝sinπ2x（x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．（Ⅲ）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．

Answer 1

（I）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）显然g（x）=2^x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
则有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2^x-1满足条件①②③，所以g（x）=2^x-1为理想函数．
对应函数h(x)＝sin

π

2

x在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
③但当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，例如x1＝

1

2

=x₂时，h（x₁+x₂）=h（1）=1，而h（x₁）+h（x₂）=2h（

1

2

）=

2

，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
（III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．