Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）-x=0只有一个实根；（2）判断函数g（x）=x2?lnx2+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意α，β，证明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

Answer 1

证明：：（1）令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
所以，方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由题设①知方程f（x）-x=0有实数根，
所以，方程f（x）-x=0有且只有一个实数根…..（4分）
（2）易知，g′（x）=

1

2

-

1

2x

，则0＜g′（x）＜1，满足条件②；
令F（x）=g（x）-x=?

x

2

?

lnx

2

+3(x＞1)，
则F（e）=?

e

2

?

lne

2

+3=?

e

2

+

5

2

＞0，F（e²）=?

e2

2

+1＜0，…..（7分）
又F（x）在区间[e，e²]上连续，所以F（x）在[e，e²]上存在零点x₀，
即方程g（x）-x有实数根x₀∈[e，e²]，故g（x）满足条件①，
综上可知，g（x）∈M…（9分）
（Ⅲ）不妨设α≤β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，
∴f（α）≤f（β），即f（β）-f（α）≥0，，
令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是单调递减函数，
∴f（β）-β≤f（α）-α，即f（β）-f（α）≤β-α，
∴0≤f（β）-f（α）≤β-α，
则有|f（α）-f（β）|≤|α-β|．…..…．（13分）