Question

设M是满足下列条件的函数f(x)构成的集合“方程f(x)-x=0有实数根;

函数f(x)的导数f'(x)满足0<f'(x)<1”若函数f(x)为集合M中任一元素，试证明方程f(x)-x=0只有一实根
判断g(x)=x/2-lnx/2+3（X>1)是否M中的元素，说明理由

Answer 1

证明：反证法。不妨假设f(x)-x=0有两个不同的实根x1, x2,且设x1<x2，作新函数：
g(x) = f(x) - x，故：
g(x1) = f(x1) - x1=0, g(x2) = f(x2) - x2=0，
函数g在闭区间 [x1,x2]上连续，开区间(x1,x2)上可导，根据微分中值定理，存在c属于 (x1,x2)，使得
g'(c) = 0，即f'(c) = 1，和已知f'(x)<1矛盾。证毕。
证明过程哪一步有问题可以继续提问~

补充回答：g'(x) = 1/2 - 1/x + 3 = 7/2 - 1/x (x>1)，故g'(x) > g'(1) = 5/2 > 1，g不是M中的元素。
PS: 如果你的意思是g(x)里是[ln(x)]/2，而不是ln(x/2)，请继续提问。