Question

在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F．（1）求证：BE=E

在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F．（1）求证：BE=EF+DF；（2）如图（2），若点P是DC的延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系？并说明理由；（3）如图（3），若点P是CD的延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线之间的数量关系？（直接写出结论，不需说明理由）．

Answer 1

（1）BE=EF+DF，
证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中

∠BEA＝∠AFD ∠BAE＝∠ADF AB＝AD

，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．

（2）DF=BE+EF，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，

∠ABE＝∠DAF ∠BEA＝∠AFD＝90° AB＝DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE=AF+EF，
∴DF=EB+EF．

（3）EF=BE+DF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵BE⊥PA、DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABE和△DAF中，

∠BEA＝∠AFD＝90° ∠1＝∠2 AB＝DA

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF（全等三角形对应边相等），
∵EF=AF+AE，
∴EF=EB+FD（等量代换）．