Question

（2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（

（2013?莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．（1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer 1

（1）证明：连结CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=CD．
在△ADE与△CDE中，

AD＝DC DE＝DE AE＝CE

，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，
若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

，sin30°=

AC

AB

=

1

2

，AC=

1

2

AB或AB=2AC．
∴当AC=

1

2

AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．