Question

已知数列{an}满足an+1-2an=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若bn=-an

已知数列{an}满足an+1-2an=0，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若bn=-anlog2an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn+n?2n+1＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=-a_nlog₂a_n得，b_n=-n?2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2?2²-3?2³-4?2⁴--n?2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2?2³-3?2⁴-4?2⁵--（n-1）?2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹②
②-①得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1＝(1?n)?2n+1?2
要使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，n³5
∴使S_n+n?2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．