Question

已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）令

已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3…），求数列{bn}的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列{bn}，如果对任意n∈N*，都有bn+14t≤t2，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由题可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，…①，
a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，…②，②-①可得2a_n+1-a_n=1…（3分）；
即：a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又a₁-1=-

1

2

…..（5分），
所以数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列…..…..（4分）
（2）解：由（1）可得a_n=1-(

1

2

)n，故bn＝

n?2

2n

，
设数列{b_n}的第r项最大，则有

r?2 2r ≥ r?1 2r+1 r?2 2r ≥ r?3 2r?1

，∴

2(r?2)≥r?1 r?2≥2(r?3)

，∴3≤r≤4，
故数列{b_n}的最大项是b3＝b4＝

1

8

..…..（8分）
（3）解：由（2）可知{b_n}有最大值是b3＝b4