Question

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10,BD=8,若AC与BD的夹角AOD=60°，求四边形ABCD的面积

Answer 1

解：
法一：
依题意可得 AO=5，BO=4，∠AOB=120°
由余弦定理可得 AB²=AO²+BO²-2AO×BO×cos∠AOB=25+16+4×5=61
解得AB=√61
又由S△AOB=1/2AO×BO×sin∠AOB=2×5×根3//2=5√3
过O点像AB边上作OE⊥AB交AB于E，则有 S△AOB=1/2OE×AB=5√3
解得OE=10√3÷√61（注：此处亦可化简为（10√183）/61，为便于后面的计算，故未化简）
又因为OE⊥AB，且O为AC中点，所以2OE为平行四边形ABCD以AB为底的高度
则S平行四边形ABCD=2×10√3÷√61×√61=20√3

法二：
S平行四边形ABCD=2（S△AOB+S△BOC）=2（1/2AO×BO×sin120°+1/2BO×CO×sin60°）=√3/2（5×4+5×4）=20√3

Answer 2

平移一条对角线，得到一个两边为10 8的三角形，两边夹角为60度（同位角相等），然后过A作长8的边的垂线，得垂线长为sin60*10=5更号3，四边形面积为三角形面积（多出来的那个三角形等于被挖掉的三角形的面积）=5更号3*8/2=20更号3

Answer 3

S=4*5*sin60*2=20sqrt(3)=34.64