Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则1a2+1b2的最小值为______

已知a＞0，b＞0，a+b=1，则1a2+1b2的最小值为______．

Answer 1

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴b=1-a．
∴

1

a2

+

1

b2

=

1

a2

+

1

(1?a)2

=f（a）．
f′（a）=?

2

a3

-

2

(a?1)3

=

?2(2a?1)(3a2?3a+1)

a3(a?1)3

，
当0＜a＜

1

2

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递减；当

1

2

＜a＜1时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递增．
∴当a=

1

2

=b时，f（a）取得最小值，f(

1

2

)=8．
故答案为：8．

Answer 2

∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴1a2+1b2
=(a+b)2a2+(a+b)2b2
=1+2ba+(ba)2+1+2ab+(ab)2
=2+2(ab+ba)+(ab)2+(ba)2
=(ab+ba)2+2(ab+ba)．
∵ab+ba≥2，
∴(ab+ba)2≥4，
2(ab+ba)≥4．
∴(ab+ba)2+2(ab+ba)≥8．
当且仅当a=b=12时取等号．
即1a2+1b2≥8．
故答案为：8