已知a>0,b>0,a+b=1,则1a2+1b2的最小值为______

已知a>0,b>0,a+b=1,则1a2+1b2的最小值为______.... 已知a>0,b>0,a+b=1,则1a2+1b2的最小值为______. 展开
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斑驳SZwi1
2014-10-13 · TA获得超过144个赞
知道答主
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∵a>0,b>0,a+b=1,∴b=1-a.
1
a2
+
1
b2
=
1
a2
+
1
(1?a)2
=f(a).
f′(a)=?
2
a3
-
2
(a?1)3
=
?2(2a?1)(3a2?3a+1)
a3(a?1)3

0<a<
1
2
时,f′(a)>0,此时函数f(a)单调递减;当
1
2
<a<1
时,f′(a)<0,此时函数f(a)单调递增.
∴当a=
1
2
=b时,f(a)取得最小值,f(
1
2
)
=8.
故答案为:8.
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路媚阎玲然
2019-10-22 · TA获得超过3768个赞
知道大有可为答主
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∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1a2+1b2
=(a+b)2a2+(a+b)2b2
=1+2ba+(ba)2+1+2ab+(ab)2
=2+2(ab+ba)+(ab)2+(ba)2
=(ab+ba)2+2(ab+ba).
∵ab+ba≥2,
∴(ab+ba)2≥4,
2(ab+ba)≥4.
∴(ab+ba)2+2(ab+ba)≥8.
当且仅当a=b=12时取等号.
即1a2+1b2≥8.
故答案为:8
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