Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足对称轴为直线x=1，且方程f（x）=x有两个相等实根

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足对称轴为直线x=1，且方程f（x）=x有两个相等实根，（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax²+bx，
∴对称轴x=-

b

2a

=1①，
又ax²+bx-x=0有两个相等实根，
∴△=（b-1）²=0②，
由①②得：a=-

1

2

，b=1，
∴f（x）=-

1

2

x²+x；
（2）（2）f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

，
又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．