Question

二次函数f （x）=ax^2+bx(a≠0)满足f(x+1)为偶函数，且方程f（x）=x有相等实根

1）求f(x)的解析式 （2）求f(x)在[m，m+1]的最大值

Answer 1

1）f(x+1)为偶函数，即f(-x+1)=f(x+1)
即x=1为对称轴
而f(x)的对称轴为x=-b/(2a), 得：b=-2a
f（x）=x有相等实根,即ax^2+(b-1)x=0的两根相等，故delta=0, 即(b-1)^2=0, 得：b=1
所以a=-b/2=-1/2
因此f(x)=-1/2*x^2+x

2)f(x)=-1/2*(x^2-2x)=-1/2*(x-1)^2+1/2
开口向下，只有极大值。根据对称轴在区间的位置来确定最大值。
当对称轴在区间中点左边，即m>=1/2时，fmax=f(m)=-m^2/2+m
当对称轴在区间中点右边，即m<1/2时，fmax=f(m+1)=-m^2/2+1/2

追问

两根相等，即ax^2+(b-1)x=0的两根相等。 为什么是b-1

追答

ax^2+bx=x
移项即得：ax^2+(b-1)x=0

追问

m>1/2 为什么是1/2

Answer 2

因为f（x）=x所以ax^2+（b-1）x=0 所以X=0所以b=1
因为f(x+1)为偶函数所以a（x+1）^2+b（x+1）=0所以2a+b=0 所以a=-1/2
所以f （x）=-1/2x^2+x
对称轴为x=1 当m+1<1即M<0 当x=M+1是最大
当M<1<M+1 X=1 最大
当M>1 X=m最大