Question

设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）设集

设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）设集合A={x|f′（x）＜0}，B={x|x?4x?3＞0}，若A∩B元素中有唯一的整数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，得
f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3取得极值，∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
经检验知，当a=3时，x=3为f（x）的极值点，故a=3；
（2）由

x?4

x?3

＞0，解得x＜3或x＞4．
∴B=（-∞，3）∪（4，+∞），
集合A={x|f′（x）＜0}，
由f′（x）=6（x-a）（x-1）．
当a＞1时，A=（1，a），如图，

该整数为2，结合数轴可知2＜a≤5．
当a＜1时，A=（a，1），如图，

该整数为0，结合数轴可知-1≤a＜0．
当a=1时，A=?，不满足条件．
综上可知，a的取值范围是：[-1，0）∪（2，5]．