Question

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）（Ⅰ）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调函数的定义证明；（Ⅱ）是

已知函数f（x）=a-22x+1（a∈R）（Ⅰ）判断函数f（x）在R上的单调性，并用单调函数的定义证明；（Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2?2x1+2?2?2x2?2

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1?2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）为R上的增函数；
（2）解：若函数f（x）为奇函数，
则f（0）=a-1=0，
∴a=1．
当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

．
∴f（-x）=

2?x?1

2?x+1

=-f（x），
此时f（x）为奇函数，满足题意，
∴a=1．