Question

如图，梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△A

如图，梯形ABCD中，AB ∥ DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．[参考公式：二次函数y=ax 2 +bx+c图象的顶点坐标为（- b 2a ， 4ac- b 2 4a ）]．

Answer 1

（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30， ∴BF=2x-30． （2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°． ∴BG=BF=2x-30， ∴S= S △DEF - S △GBF = 1 2 DE 2 - 1 2 BF 2 = 1 2 x 2 - 1 2 (2x-30 ) 2 = - 3 2 x 2 +60x-450 ． （3）S= - 3 2 x 2 +60x-450=- 3 2 (x-20 ) 2 +150 ． ∵ a=- 3 2 ＜0 ，15＜20＜30， ∴当x=20时，S有最大值，最大值为150