如图,直角梯形ABCD中,AB ∥ CD,∠BCD=90°,BC=CD= 2 ,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面
如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD且有EC=FD=2.(I)求证:AD丄BF;(I...
如图,直角梯形ABCD中,AB ∥ CD,∠BCD=90°,BC=CD= 2 ,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.(I )求证:AD丄BF;(II )若线段EC的中点为M,求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值.
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(I)∵BC⊥DC,BC=CD=
∴BD=
∵平面ABCD中,AB ∥ DC,∴∠DBA=∠CBD=45° ∵AD=BD,可得∠DBA=∠BAD=45° ∴∠ADB=90°,即AD⊥BD ∵FD丄底面ABCD,AD?底面ABCD,∴AD⊥DF ∵BD、DF是平面BDF内的相交直线,∴AD⊥平面BDF ∵BF?平面BDF,∴AD丄BF (II)如图,过点M作MN⊥BE,垂足为N,连接NA,AC ∵AB⊥BC,AB⊥EC,BC∩EC=E,∴AB⊥平面BEC ∵MN?平面BEC,∴AB⊥MN, 结合MN⊥BE且BE∩AB=B,可得MN⊥平面ABEF ∴AN是AM在平面ABEF内的射影,可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角 ∵Rt△ABC中,AC=
∵△EMN ∽ △EBC,∴
因此,在Rt△MAN中,sin∠MAN=
即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是
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