如图,直角梯形ABCD中,AB ∥ CD,∠BCD=90°,BC=CD= 2 ,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面

如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD且有EC=FD=2.(I)求证:AD丄BF;(I... 如图,直角梯形ABCD中,AB ∥ CD,∠BCD=90°,BC=CD= 2 ,AD=BD:EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.(I )求证:AD丄BF;(II )若线段EC的中点为M,求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值. 展开
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知道答主
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(I)∵BC⊥DC,BC=CD=
2

∴BD=
B C 2 +C D 2
=2,且△BCD是等腰直角三角形,∠CDB=∠CBD=45°
∵平面ABCD中,AB DC,∴∠DBA=∠CBD=45°
∵AD=BD,可得∠DBA=∠BAD=45°
∴∠ADB=90°,即AD⊥BD
∵FD丄底面ABCD,AD?底面ABCD,∴AD⊥DF
∵BD、DF是平面BDF内的相交直线,∴AD⊥平面BDF
∵BF?平面BDF,∴AD丄BF
(II)如图,过点M作MN⊥BE,垂足为N,连接NA,AC
∵AB⊥BC,AB⊥EC,BC∩EC=E,∴AB⊥平面BEC
∵MN?平面BEC,∴AB⊥MN,


结合MN⊥BE且BE∩AB=B,可得MN⊥平面ABEF
∴AN是AM在平面ABEF内的射影,可得∠MAN就是直线AM与平面ABEF所成角
∵Rt△ABC中,AC=
A B 2 +B C 2
=
10
,∴Rt△ACM中,AM=
A C 2 +C M 2
=
11

∵△EMN △EBC,∴
MN
BC
=
EN
EC
MN
BC
=
EM
EB
,可得MN=
3
3

因此,在Rt△MAN中,sin∠MAN=
MN 
AM
=
33
33

即直线AM与平面ABEF所成角的正弦值是
33
33
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