Question

已知函数f（x）=ex-（2a+e）x，a∈R．（Ⅰ）若对任意x≥1，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；

已知函数f（x）=ex-（2a+e）x，a∈R．（Ⅰ）若对任意x≥1，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当a＞-e2时，关于x的不等式f（x）+b＜0在实数范围内总有解，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）已知对任意x≥1，f（x）≥1恒成立，则e^x-（2a+e）x≥1，
即对任意x≥1，不等式2a+e≤

ex?1

x

恒成立．
令h(x)＝

ex?1

x

，当x≥1时，h/(x)＝

ex(x?1)+1

x2

＞0
所以y=h（x）在[1，+∞]上单调递增，
函数h（x）有最小值，最小值为h（1）=e-1，
所以2a+e≤e-1，
解得a≤?

1

2

；
故实数a的取值范围为（-∞，-

1

2

）
（Ⅱ）因为f（x）=e^x-（2a+e）x，所以f'（x）=e^x-（2a+e）
因为a＞?

e

2

，所以2a+e＞0
由f'（x）＞0?x＞ln（2a+e）f'（x）＜0?x＜ln（2a+e）
所以x∈（-∞，ln（2a+e））时，函数f（x）单调递减，x∈（ln（2a+e），+∞）时，函数f（x）单调递增，
所以f(x)min＝f[ln(2a+e)]＝eln(2a+e)?(2a+e)?ln(2a+e)=（2a+e）-（2a+e）?ln（2a+e）
因为不等式f（x）+b＜0在实数范围内总有解，
则不等式（2a+e）-（2a+e）?ln（2a+e）+b≤0恒成立，
即当a＞?

e

2

时，不等式b≤（2a+e）?ln（2a+e）=（2a+e）恒成立．
令t=2a+e，g（t）=tlnt-t（t＞0），则g′（t）=lnt，g′（t）＞0?t＞1，
即t∈（1，+∞）时，函数g（t）单调递增，g′（t）＜0?t＜1，
即t∈（-∞，1）时，函数g（t）单调递减，
所以函数g（t）有最小值，最小值为g（1）=-1，
所以b≤-1．
故实数b的取值范围为（-∞，-1]