Question

已知函数f(x)=e^x+ax,g(x)=e^xlnx.(2),若对于任意实属x≥0,f(x)>0恒成立，求a的取值范围。

（3)当a=-1时，是否存在实数xo∈[1，e],使曲线C:y=g(X)-f(X)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，说明理由

Answer 1

(2)任意实数x≥0,f(x)>0恒成立
f'(x)=e^x+a
a>=-1时，f(x)=e^x+a>0恒成立，f(x)递增
所以f(x)>=f(0)=1>0恒成立
a<-1时
0<x<ln(-a)时，f'(x)<0，f(x)递减；x>ln(-a)时，f‘(x)>0，f(x)递增
所以f(x)最小值是f(ln(-a))=-a+aln(-a)=(-a)(1-ln(-a))>0
ln(-a)<1 -a<e a>-e
所以综上a>-e

(2)a=-1
y=g(x)-f(x)=e^xlnx-e^x+x
存在实数xo∈[1，e],使曲线C:y=g(X)-f(X)在点x=x0处的切线与y轴垂直
也就是y'(x0)=0
y'(x)=e^xlnx+e^x/x-e^x+1=e^x(lnx+1/x-1)+1
而设h(x)=lnx+1/x-1
h'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
1<=x<=e h'(x)>0 h(x)递增，h(x)>=h(1)=0
所以e^x*(lnx+1/x-1)>0
所以y'(x)=e^x*(lnx+1/x-1)+1>=1
所以不会有Y'(x)=0
也就是说不存在符合题意得x0

追问

为什么a要与-1比较

追答

因为x>=0时，e^>=1
f'(x)=e^x+a>=1+a
所以a与-1比较
如果a>=-1，那么f'(x)>=0恒成立了