Question

已知函数f(x)=e^x-ax,a>0,若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围

已知函数f(x)=e^x-ax,a>0,若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围

Answer 1

f(x)=e^x-ax
f'(x)=e^x-a

f'(x)=e^x-a>0时
e^x>a
x>lna单调递增
f'(x)=e^x-a<0时
x<lna单调递减
f'(x)=e^x-a=0时
x=lna最小值
f(x)=e^x-ax
f(a)=a-alna>=1
f'(a)=1-1-lna=-lna
f'(a)=-lna<0时
a>1单调递减
f'(a)=-lna>0时
0<a<1单调递增
a=1最大值
f(1)=1
a的取值范围a=1

Answer 2

即f(X)-1≥0恒成立
令g(X)=f(x)-1=e^x-ax-1；
g'(x)=e^x-a=0,x=㏑a,
当x＜㏑a时，g'(x)＜0；当x＞㏑a时，g'(x)＞0，
则g(x)最小值为g(㏑a)=a-a㏑a-1≥0恒成立，然后……

追问

求出来答案不对啊

Answer 3

要满足题意，只需f(x)的最少值大于f'(x1)=0,x1=(1/a)ln(1/a),则f(x)在(负无穷，x1)单调递减,在(x1,正无穷)上单调递增，f(x)的最小

追问

可以把具体的过程写下来吗